کار در کلاس ۱ محاسبه مقادیر توابع در یک نقطه حسابان یازدهم
توابع $f, g, \text{و } h$ با ضابطههای $f(x) = x + ۳$ و $g(x) = \frac{x^۲ - ۹}{x - ۳}$ و $h(x) = \begin{cases} x + ۳ & x \ne ۳ \\ ۴ & x = ۳ \end{cases}$ را در نظر بگیرید.
مقادیر زیر را در صورتی که تعریف شده باشند به دست آورید:
$$f(۳) = \dots$$
$$g(۳) = \dots$$
$$h(۳) = \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۱۷ حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت به ما کمک میکند تا تفاوت بین **مقدار تابع در یک نقطه** و **حد تابع در آن نقطه** را درک کنیم. مقدار تابع تنها زمانی تعریف میشود که $x$ در دامنه آن تابع باشد. 🧐
---
### ۱. محاسبه $f(۳)$
* **ضابطه**: $f(x) = x + ۳$. دامنه $D_f = \mathbb{R}$.
* **محاسبه**: $f(۳) = ۳ + ۳ = \mathbf{۶}$
### ۲. محاسبه $g(۳)$
* **ضابطه**: $g(x) = \frac{x^۲ - ۹}{x - ۳}$.
* **بررسی دامنه**: برای $x = ۳$، مخرج صفر میشود: $۳ - ۳ = ۰$.
$$\mathbf{g(۳) = \frac{۳^۲ - ۹}{۳ - ۳} = \frac{۰}{۰}}$$
* **نتیجه**: مقدار $\mathbf{g(۳)}$ **تعریف نشده** است (زیرا $x=۳$ در دامنه $D_g$ نیست).
### ۳. محاسبه $h(۳)$
* **ضابطه**: $h(x)$ یک تابع چندضابطهای است. مقدار $h(۳)$ با استفاده از ضابطه دوم آن تعیین میشود (مقدار تابع در نقطه $x=۳$):
$$\mathbf{h(۳) = ۴}$$
کار در کلاس ۲ تکمیل جدول و حدس حد حسابان یازدهم
با تکمیل جدول زیر، حدس بزنید که وقتی $x$ مقادیر $۳$ را نزدیک میکنیم، مقادیر توابع $f, g, \text{و } h$ هر کدام به چه عددی نزدیک میشوند.
| $x$ | $۲.۹$ | $۲.۹۹$ | $۲.۹۹۹$ | $۲.۹۹۹۹$ | $\to ۳ \quad \longleftarrow$ | $۳.۰۰۰۱$ | $۳.۰۰۱$ | $۳.۰۱$ | $۳.۱$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f(x)$ | $۵.۹$ | $۵.۹۹$ | $۵.۹۹۹$ | $۵.۹۹۹۹$ | $\to ? \quad \longleftarrow$ | $۶.۰۰۰۱$ | $۶.۰۰۱$ | $۶.۰۱$ | $۶.۱$ |
| $g(x)$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\to ? \quad \longleftarrow$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $h(x)$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\to ? \quad \longleftarrow$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۱۱۷ حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت مفهوم **حد تابع** را به صورت عددی بررسی میکند. حد یک تابع ($L$) در نقطهای مانند $a$، مقداری است که خروجیهای تابع ($f(x)$) زمانی که $x$ از چپ و راست به $a$ نزدیک میشود، به آن مقدار نزدیک میشوند. 🧠
---
### ضابطههای مورد استفاده
* **$f(x) = x + ۳$**
* **$g(x) = \frac{x^۲ - ۹}{x - ۳}$**: برای $x \ne ۳$، میتوانیم آن را ساده کنیم: $\mathbf{g(x) = x + ۳}$
* **$h(x) = x + ۳$ (برای $x \ne ۳$)**
### ۱. تکمیل جدول
چون ضابطه توابع $f$ و $g$ (برای $x \ne ۳$) و $h$ (برای $x \ne ۳$) با هم برابر $\mathbf{x + ۳}$ است، مقادیر آنها در خانههای جدول (که $x \ne ۳$ است) نیز **برابر** خواهند بود:
| $x$ | $۲.۹$ | $۲.۹۹$ | $۲.۹۹۹$ | $۲.۹۹۹۹$ | $\to ۳ \quad \longleftarrow$ | $۳.۰۰۰۱$ | $۳.۰۰۱$ | $۳.۰۱$ | $۳.۱$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f(x)$ | $۵.۹$ | $۵.۹۹$ | $۵.۹۹۹$ | $۵.۹۹۹۹$ | $\to \mathbf{۶} \quad \longleftarrow$ | $۶.۰۰۰۱$ | $۶.۰۰۱$ | $۶.۰۱$ | $۶.۱$ |
| $g(x)$ | $\mathbf{۵.۹}$ | $\mathbf{۵.۹۹}$ | $\mathbf{۵.۹۹۹}$ | $\mathbf{۵.۹۹۹۹}$ | $\to \mathbf{۶} \quad \longleftarrow$ | $\mathbf{۶.۰۰۰۱}$ | $\mathbf{۶.۰۰۱}$ | $\mathbf{۶.۰۱}$ | $\mathbf{۶.۱}$ |
| $h(x)$ | $\mathbf{۵.۹}$ | $\mathbf{۵.۹۹}$ | $\mathbf{۵.۹۹۹}$ | $\mathbf{۵.۹۹۹۹}$ | $\to \mathbf{۶} \quad \longleftarrow$ | $\mathbf{۶.۰۰۰۱}$ | $\mathbf{۶.۰۰۱}$ | $\mathbf{۶.۰۱}$ | $\mathbf{۶.۱}$ |
### ۲. حدس حد
با نزدیک شدن $x$ به ۳ از هر دو طرف، مقادیر هر سه تابع به عدد **۶** نزدیک میشوند.
* $\mathbf{f(x) \to ۶}$
* $\mathbf{g(x) \to ۶}$
* $\mathbf{h(x) \to ۶}$
فعالیت ۳ توضیح حد توابع از روی نمودار حسابان یازدهم
نمودارهای توابع $f, g, \text{و } h$ به صورت زیر رسم شده است. از روی نمودار، توضیح دهید که وقتی $x$ مقادیر ۳ را نزدیک میکنیم، مقادیر هر کدام $h(x)$، $g(x)$ و $f(x)$ به چه عددی نزدیک میشوند.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۱۱۷ حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت مفهوم **حد از طریق نمودار** را بررسی میکند. حد یک تابع ($L$) در نقطهای مانند $a$، ارتفاعی است که نمودار در آن نقطه به آن **نزدیک** میشود، **صرف نظر از اینکه تابع در آن نقطه تعریف شده یا خیر**. 📊
---
### ۱. نمودار $f$ ($f(x) = x + ۳$)
* **مشاهده**: نمودار $f$ یک **خط پیوسته** است.
* **نزدیک شدن به $x=۳$**: وقتی از چپ و راست به $x=۳$ نزدیک میشویم، نمودار به ارتفاع $y=۶$ نزدیک میشود.
* **نتیجه**: $\mathbf{\lim_{x \to ۳} f(x) = ۶}$
### ۲. نمودار $g$ ($g(x) = \frac{x^۲ - ۹}{x - ۳}$)
* **مشاهده**: نمودار $g$ همانند خط $y = x + ۳$ است، با این تفاوت که در $x=۳$ یک **حفره (دایره توخالی)** دارد.
* **نزدیک شدن به $x=۳$**: با نزدیک شدن $x$ به ۳، نمودار به ارتفاع $y=۶$ نزدیک میشود، اگرچه $g(۳)$ تعریف نشده است.
* **نتیجه**: $\mathbf{\lim_{x \to ۳} g(x) = ۶}$
### ۳. نمودار $h$ ($h(x)$ چندضابطهای)
* **مشاهده**: نمودار $h$ همانند خط $y = x + ۳$ است، اما در $x=۳$ **مقدار تابع پرش کرده** و به $y=۴$ رسیده است (نقطه $\mathbf{(۳, ۴)}$).
* **نزدیک شدن به $x=۳$**: با نزدیک شدن $x$ به ۳، نمودار به ارتفاع $y=۶$ نزدیک میشود (نقطه توخالی)، صرف نظر از اینکه $h(۳) = ۴$ است.
* **نتیجه**: $\mathbf{\lim_{x \to ۳} h(x) = ۶}$
---
**حد هر سه تابع وقتی $x$ به ۳ نزدیک میشود، برابر $\mathbf{۶}$ است.**
فعالیت ۴ نمایش حد توابع حسابان یازدهم
حد هر سه تابع وقتی $x$ به ۳ نزدیک میشود برابر $\dots$ است؛ به عبارت دیگر:
$$\lim_{x \to ۳} f(x) = \dots \quad \lim_{x \to ۳} g(x) = \dots \quad \lim_{x \to ۳} h(x) = \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ صفحه ۱۱۷ حسابان یازدهم
سلام! همانطور که در فعالیتهای قبل (عددی و نموداری) مشاهده شد، **حد** توابع $f, g, \text{و } h$ در نقطه $x=۳$، برابر با ارتفاعی است که نمودارها به آن نزدیک میشوند، یعنی $\mathbf{۶}$.
### ۱. تکمیل عبارت کلامی
حد هر سه تابع وقتی $x$ به ۳ نزدیک میشود برابر **۶** است.
### ۲. نمایش ریاضی حد
$$\mathbf{\lim_{x \to ۳} f(x) = ۶}$$
$$\mathbf{\lim_{x \to ۳} g(x) = ۶}$$
$$\mathbf{\lim_{x \to ۳} h(x) = ۶}$$
**نکته مهم**: این مثال تفاوت کلیدی بین **حد** و **مقدار تابع** را نشان میدهد:
* **حد** ($L = ۶$) به رفتار تابع **نزدیک** نقطه ($x=۳$) میپردازد.
* **مقدار تابع**: $athbf{f(۳) = ۶}$ (برابر حد)، $athbf{g(۳) = \text{تعریف نشده}}$ (حفره)، $athbf{h(۳) = ۴}$ (پرش مقدار).
فعالیت ۵ مقایسه توابع حسابان یازدهم
با توجه به جدول صفحه قبل و نمودار و ضابطه سه تابع، تفاوتها و شباهتهای این سه تابع را بیان کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۵ صفحه ۱۱۷ حسابان یازدهم
سلام! توابع $f(x) = x + ۳$، $g(x) = \frac{x^۲ - ۹}{x - ۳}$ و $h(x) = \begin{cases} x + ۳ & x \ne ۳ \\ ۴ & x = ۳ \end{cases}$ هر سه از نظر رفتاری بسیار شبیه هستند، اما در نقطه $x=۳$ دارای تفاوتهای اساسی هستند. 🧐
---
## شباهتها
1. **ضابطه در دامنه غیر مشترک**: ضابطه هر سه تابع برای تمام مقادیر $\mathbf{x \ne ۳}$ یکسان و برابر $\mathbf{y = x + ۳}$ است.
2. **نمودار**: نمودار هر سه تابع در تمام نقاط $\mathbf{x \ne ۳}$، منطبق بر یک **خط راست** هستند.
3. **حد**: $\mathbf{\lim_{x \to ۳} f(x) = \lim_{x \to ۳} g(x) = \lim_{x \to ۳} h(x) = ۶}$. (حد در $x=۳$ برای هر سه تابع یکسان است.)
---
## تفاوتها (در نقطه $x=۳$)
| تابع | مقدار تابع در $x=۳$ | وضعیت نمودار در $x=۳$ | نوع پیوستگی (در آینده) |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| **$f(x)$** | $athbf{f(۳) = ۶}$ | **پیوسته**. تابع در نقطه $(۳, ۶)$ پر است. | **پیوسته** $|
| **$g(x)$** | $athbf{g(۳) = \text{تعریف نشده}}$ | **حفره (سوراخ)** در نقطه $(۳, ۶)$ (دایره توخالی). | **ناپیوستگی رفعشدنی** |
| **$h(x)$** | $athbf{h(۳) = ۴}$ | **پرش**. حفره در $(۳, ۶)$ و پرش به نقطه $(۳, ۴)$ (نقطه پر). | **ناپیوستگی برداشتنی** |
**نتیجه**: این توابع به ما نشان میدهند که **حد** تابع در یک نقطه، **لزوماً** برابر با **مقدار تابع** در آن نقطه نیست؛ بلکه فقط نشاندهنده **رفتار تابع در همسایگی آن نقطه** است.
